数学在生活中的应用论文6篇

数学在生活中的应用论文6篇数学在生活中的应用论文　目目　录摘要…………………&hell下面是小编为大家整理的数学在生活中的应用论文6篇,供大家参考。

篇一：数学在生活中的应用论文

目

　录 摘要……………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………1 引言

　…………………………………………………………………………………1 1

　定积分概述……………………………………………………………………2 1.1

　 定积分的定义…………………………………………………………………………2 1.2

　定积分的性质…………………………………………………………………2 1.3

　定理及方法……………………………………………………………………3 2

　 定 积 分 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 2.1

　定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用………………4 2 . 2 定 积 分 在 物 理 中 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … 8 3

　总结………………………………………………………………………… 11 致谢……………………………………………………………………………………11 参考文献………………………………………………………………………………11

　 定积分在生活中的应用 数学与应用数学专业学生

　郑剑锋 指导教师

　徐玉梅 论文摘要 ：

　本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。

　关键词 ：微元法 定积分 数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Student majoring in mathematics and applied mathematics

　Jianfeng Zheng

　Tutor

　 Yumei Xu Abstract ：

　This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key

　words: :

　Micro element method definite integral sequence limit

　 引 言

　本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

　文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

　 一、定积分的概述 1、定积分的定义 设 函 数   f x 在 区 间   , a b 上 有 界 ， 在   , a b 中 任 意 插 入 若 干 个 分 点0 1 1 n na x x x x b      ， 把区间   , a b 分成 n 个小区间：

　 有      0 1 1 2 1, , , , , , ,n nx x x x x x且 各个小区间的长度依次为1 1 0x x x    ，2 2 1x x x    ，…，1 n n nx x x   。在每个小区间 1 , i ix x上任取一点i ，作函数  if  与小区间长度ix  的乘积  i if x   （ 1,2, , i n  ），并作出和  1ni iiS f x  。记  1 2max , , ,nP x x x     ，如果不论对   , a b 怎样分法，也不论在小区间  1 , i ix x上点i 怎样取法，只要当 0 P  时，和 S 总趋于确定的极限 I ，这时我们称这个极限 I 为函数   f x 在区间   , a b 上的定积分（简称积分），记作 baf x dx，即  baf x dx= I =  01limni iPif x ,

　其中   f x 叫做 被积函数，   f x dx 叫做 被积表达式， x 叫做 积分变量， a 叫做 积分下限，b 叫做 积分上限，  , a b 叫做 积分区间。

　2 2 ．定积分的性质.

　设函数   f x 和   g x 在   , a b 上都可积， k 是常数，则   kf x 和   f x +   g x 都可积，并且 性质 1  bakf x dx=  bak f x dx; 性质 2 2    baf x g x dx     =  baf x dx+  bag x dx    baf x g x dx     =  baf x dx-  bag x dx. 性质 3

　定积分对于积分区间的可加性 设   f x 在区间上可积，且 a ， b 和 c 都是区间内的点，则不论 a ， b 和 c 的相对位臵如何，都有  caf x dx=  baf x dx+  cbf x dx。

　性质

　4

　 如果在区间   , a b 上   f x  1，则 1badx=badx= b a  。

　性质

　5 5

　如果在区间   , a b 上   f x  0 ,则  baf x dx 0   a b  。

　性质

　6 6

　如果在 ] , [ b a 上, M x f m   ) ( ,则    baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) (

　性质

　7 7（积分中值定堙）如果 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续，则在 ] , [ b a 上至少存一点  使得  baa b f dx x f ) )( ( ) ( 

　3．定理及方法 1 1 、定理

　定理 1

　微积分基本定理

　如果函数   f x 在区间   , a b 上连续,则积分上限函数   x  =  xaf t dt在   , a b 上可导,并且它的导数是   " x  = xad f t dtdx=   f x   a x b   .

　定理

　2 2

　原函数存在定理 如果函数   f x 在区间   , a b 上连续,则函数   x  =  xaf t dt就是   f x 在   , a b 上的一个原函数.

　定理 3 3

　如果函数   F x 是连续函数   f x 在区间   , a b 上的一个原函数, 则

　  baf x d x=     F b F a 

　称上面的公式为 牛顿- - 莱布尼茨公式 . 2 2 、方法

　定积分的换元法

　假设函数   f x 在区间   , a b 上连续,函数  x t  满足条件 (1)   a    ,   b    ; (2)   t  在   ,   (或   ,   )上具有连续导数,且其值域 R     , a b ,则有  baf x dx=     " f t t dt     , 上面的公式叫做定积分的换元公式. 定积分的分部积分法

　根据不定积分的分部积分法,有

　    "bau x v x d x

　    "bau x v x dx   

　        "bau x v x u x v x dx    

　   bau x v x        "bav x u x d x 简写为

　 "bau v d x= bauv "bavu dx 或 baudv= bauv vdu. 二 、定积分的应用

　一、计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 1、利用定积分计算平面图形的面积 （1）设连续函数 ) (x f 和 ) (x g 满足条件 ) (x g  ) (x f ，  x ] , [ b a ．求曲线  y ) (x f ， y ) (x g 及直线 b x a x   , 所围成的平面图形的面积 S ．（如图 1）

　解法步骤：

　第一步：在区间 ] , [ b a 上任取一小区间 ] , [ dx x x  ，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以 )] ( ) ( [ x g x f  为高，以 dx 为底的矩形面积近似，于是 dx x g x f dS )] ( ) ( [   ． 第二步：在区间 ] , [ b a 上将 dS 无限求和，得到 badx x g x f S )] ( ) ( [ . （2）上面所诉方法是以 x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将 y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线 ) (y x   、 ) (y x   其中 ) ( ) ( y y    与直线 c y  、 d y  所围成的平面图形（图 2）的面积为：

　 dcdy y y S )] ( ) ( [  

　例 例 1 1

　求由曲线 x y sin  ， x y cos  及两直线 0  x ，   x 所围成的图形的面积 A ． 解 （1）作出图形，如图所示．易知，在 ] , 0 [  上，曲线 x y sin  与 x y cos  的交点为 )22,4(  ；

　（2）取 x 为积分变量，积分区间为 ] , 0 [  ．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；

　（3）区间 ]4, 0 [上这一部分的面积1A 和区间 ] ,4[ 上这一部分的面积2A 分别为  401) sin (cosdx x x A ，  42) cos (sin dx x x A ， 所以，所求图形的面积为 2 1A A A   =  40) sin (cosdx x x +  4) cos (sin dx x x

　     2 2 sin cos cos sin440     x x x x ．

　例 例 2 求椭圆2 22 21x ya b  的面积. 解

　椭圆关于 x 轴, y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的 4 倍,即 104 4aS S ydx  

　利用椭圆的参数方程 cossinx a ty b t  应用定积分的换元法, sin dx a tdt   ,且当 0 x  时, ,2t x a  时, 0 t  ,于是 02220204 sin ( cos )4 sin1 cos24214 sin2 22 40S b t a t dtab tdttab dttab t ab      

　 2．求旋转体体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的

　体积，我们可以将此木块作分割 b x x x a Tn      1 0: 划分成许多基本的小块，每 一 块 的 厚 度 为 ) , , 2 , 1 ( n i x i    ， 假 设 每 一 个 基 本 的 小 块 横 切 面 积 为) , , 2 , 1 )( ( n i x Ai  ， ) (x A 为   b a, 上连续函数，则此小块的体积大约是i ix x A  ) ( ，将所有的小块加起来，令 0  T ，我们可以得到其体积：

　   banii iTdx x A x x A V ) ( ) ( lim10 。

　例 例 2 2

　求由曲线 4  xy , 直线 1  x , 4  x , 0  y 绕 x 轴旋转一周而形成的立体体积. 解

　先画图形，因为图形绕 x 轴旋转，所以取 x 为积分变量， x 的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[ x , x + x d ]的小窄条，绕 x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为 x d ，底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为

　V d =2πy x d = π2)4(xx d ,

　 于是，体积

　 V = π412 d)4( xx =16 π 412d1xx   16 π411x=12 π . 3．求曲线的弧长 （1）设曲线 ) (x f y  在   b a, 上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取 x 为积分变量，在   b a, 上任取小区间   x x x d ,  ，切线上相应小区间的小段 MT 的长度近似代替一段小弧 MN 的长度，即 ds l MN  .得弧长微元为：

　dx y y x MT s2 2 2) ( 1 ) d ( ) d ( d       ,再对其积分， 则曲线的弧长为：

　dx x f dx y ds sbababa        2 2)] ( [ 1 ) ( 1

　（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线) () (t yt x上   , t    一段的弧长.这时弧长微元为：

　   2 22 2 dx dyds dx dy dtdt dt            即    2 2ds t t dt      

　则曲线的弧长为：

　dt t t ds s      2 2)] ( [ )] ( [

　 例 例 3 3

　(1)求曲线 2332x y  上从 0 到 3 一段弧的长度 解 由公式 s = x ybad 12 

　 （ b a  ）知,弧长为 s = x y d 1302  = x x30d 1 =323023) 1 ( x  =31632 =314.

　(2)求摆线 ( sin ),(1 cos )x a t ty a t    在  2 0   t 上的一段弧的长度（ 0  a ）． 解

　取 t 为积分变量，积分区间为 ] 2 , 0 [  ．由摆线的参数方程，得 ) cos 1 ( t a x    ， t a y sin   ， t a t a y x2 2 2 2 2 2sin ) cos 1 (      

　|2sin | 2 ) cos 1 ( 2ta t a    ． 于是，由公式（16-13），在  2 0   t 上的一段弧的长度为2 20 02 |sin | 2 sin2 2t ts a dt a dt   

　 204 cos 82ta a     

　二、定积分在物理中的应用

　1、求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 ( )bas v t dt  

　 例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这 1 min 行驶的路程．

　解：由速度一时间曲线可知：

　3 ,0 10,( ) 30,10 401.5 90,40 60.t tv t tt t       

　因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

　10 40 600 10 403 [ 30 ( 1.5 90) s tdt dt t dt        2 10 40 2 600 10 403 3| 30 | ( 90 )| 1350( )2 4t t t t m      

　 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

　2、 定积分在变力作功的应用

　一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移（单位：m)，则力 F 所作的功为 W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到 x=b (a<b) ，那么如何计算变力 F(x）所作的功 W 呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ( )baW F x dx  

　 例 2 设 40N 的力使一弹簧从原长 10cm 拉长到 15cm．现要把弹簧由 15cm 拉长到20cm，需作多少功？

　解 以弹簧所在直线为 x 轴，原点 O 为弹簧不受力时一端的位臵．根据胡克定律，当把弹簧拉长 x m 时，所需的力为 ( ) F x kx  ，

　（1）

　其中 k 为弹性系数，是常数． 根据题意，当把弹簧由原长 10cm 拉长到 15cm 时，拉伸了 0.05m，把0.05 x  (0.05) 40 F  代入式（1），得

　 40 0.05k  ， 800  k ，

　所以

　 ( ) 800 F x x  ． 因此当把弹簧由 15cm 拉长到 20cm，即 x 从 05 . 0  x 变到 1 . 0  x 时，所需作的功为

　0.1 0.120.05 0.05 800400 3 W xdx x       ． 3、定积分在在电学中的应用 例 3、有一均匀带电圆盘，其半径为 R ，电荷面密度为  （如下图），求圆盘轴线 上与盘心 O 相距为 x 的任一给定点 P 处的场强？ 分析：因为圆盘带电均匀分布，所以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，要知道各细圆环在点 P 处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点 P 的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点 P 处的总场强。

　解：从圆盘上任取一半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环，因为圆盘的面密度dSdq  ，则细圆环所带的电荷量为 rdr dq   2  .那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为 q )在P 点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元 dl ，电荷线密度rqdldq2  ，则dl 上所带的电荷量为：

　dlrqdq 2

　...

篇二：数学在生活中的应用论文

数学在生活中的应用

　摘要：

　数学与社会的方方面面都有十分密切的联系, 为了 激发培养学生学习数学的兴趣和应用数学知识的能力, 通过几个与日 常生活相关的数学应用问题， 阐明数学应用的重要性和广泛性。

　关键词：

　数学 生活应用 重要性

　数学应用， 简而言之就是用数学的意识， 即用数学的眼光、 从数学的角度观察事物， 阐释现象、 分析问题、 解决问题。

　从数学应用的角度处理数学内容， 加强数学的应用实践环节， 让数学尽可能的贴近生活能有效地激发学生的学趣,

　就会收到良好的教学效果。

　数学家希尔伯特说: “数学是我们时代有势力的科学, 它不声不响地扩大它所征服的领域.

　” 随着科学技术的迅猛发展, 现代数学以技术化的方式迅速辐射到统计、 税收、 股票、 金融、 保险、 贸易和农业生产等领域, 成为人们在日 常生活中关注的一个焦点.

　笔者结合教学实践, 收集了 生活中的几个数学问题, 对于激发学生学习数学的兴趣大有裨益.

　一、 数学在经济领域中的应用 1.

　求盈亏转折点或供需平衡点———相交直线的应用 问题:

　某厂日 产手表的总成本y (元)

　与手表日 产量x (块)

　之间有成本函数y = 10x + 4000,

　而手表的出厂价格为每块20 (元)

　且可全部售出。

　试问该厂至少应日 产手表多少块才不亏本(即求盈亏转折点)

　? 已知解这类问题用的是相交直线的交点问题,

　即求出由两条直钱的 方程组成的方程组的解,

　此解即为所求的盈亏转折点或供需平衡点。(这里略解)

　2.

　计算利息、 工资总额———数列的应用 问题: 已知一笔资金的本金P = 10000元, 单利率i = 0.

　24% , 期数n = 10, 求本利和F1 0 解:

　根据单利公式Fn = P (1 + ni)

　,

　得F10 = 10000 (1 + 10 × 0.

　24% )

　= 10240元。

　从以上的例子可以看出:

　题中所用的是求数列中的某一项。

　如果不 了 解数列的这些知识,

　就很难准确地解决这个问题。

　3.

　求最小成本、 最大利润问题———函数的应用 问题：

　仪器厂生产的某种精密仪器,

　每年产量为Q 台,

　产理与销量一致, 总成本函数为C (Q)

　= 40 + 0.

　1Q2 ,

　该产品需求函数为Q = 39.

　6 - P,

　价格、 成本、 收益、 利润等的单位为“万元” 。求:

　(1)

　产量为多少时,

　平均成本最低? 并求此时的平均成本。

　(2)

　产量为多少时,

　总利润最大? 最大利润是多少? 此类问题是导数的应用,

　即求出平均成本函数和利润函数的导数,

　并求出它们的导数为零时的产量Q的值,

　就是所求的产量,

　再将此产量代入平均成本函数和总利润函数便可得到最低平均成本和最大利润。

　(解略)

　经济问题对于每个人都不陌生， 教师只要在对这一类问题做以简单的联系， 这样既加深理解又可以学以致用， 使学生的数学学习兴趣近一步提高。

　二、 数学在自 然规律中的应用 问题：已知 a ,

　b ,

　c 是非负整数, 有 28a + 30b + 31c = 365 , 求 a + b + c 的值.

　分析 这道题初看上去, 给人的感觉是无从下手, 一个方程三个未知数, 一般来说是很难确定其解的, 观察题中系数是: 28 , 30 , 31 ,

　364 , 联想生活常识, 它们恰巧分别是: 一年中 2 月 份的天数, 小月 的天数、 大月 的天数以及全年的总天数, 根据条件 28 a + 30 b + 31 c = 365可知, 要求 a ,

　b ,

　c , 只要分别算出 1 年中 2 月 份和小月 、 大月 的数量即可, 显然, 1 年中 2 月 份的数量是 1 , 小月 的数量是 4(4 月 、 6 月 、 9 月 、11 月 )

　, 大月 的数量是 7(1 月 、 3 月 、 5 月 、 7 月 、 8 月 、 10 月 、 12 月 )

　,即有 a = 1 ,

　b = 4 ,

　c = 7 , 所以 a + b + c = 1 + 4 + 7 = 12.

　三、 数学在生产和生活中的应用 1、 方程在生活中的应用 问题：一个人喝少量酒后, 血液中酒精含量将迅速上升到 0.

　3 mgPmL , 在停止喝酒后, 血液中的酒精含量以每小时 50 %的速度减少. 假若法例规定, 驾驶员 血液中的酒精含量不得超过 0.

　08

　mgPmL , 问喝酒后多少小时才能驾驶? 解：

　设喝酒 x 小时后才能驾驶,

　x 小时后, 血液中酒精含量达得方程0.

　3 (1 - 50 %)

　x = 0.

　3 × 0.

　5 x , 0.

　3 × 0.

　5 x = 0.

　08 , 0.

　5 x = 0.

　2667 , xlg0.

　5 = lg0.

　2667 , 所以 x = 1.

　91 (h)

　.

　2、 三角函数在生产中的应用 问题：

　利用农药喷雾器杀虫时， 如果想使喷洒面积大一些， 应用什么方法， 请用数学知识解释。

　解：

　喷雾器喷出的水雾形成一个圆锥体， 设边缘相对两根母线夹角为θ ， 喷头离水稻叶面高为 h， 则2tanhr，2tanhr ，喷洒面积2tan222hrS， 由 此可见， θ一定时， h 越大， S 也越大， 也就是喷嘴举高一些， 喷洒的面积也越大。

　只 有让学生感受到数学在自 己身边,

　才能明白为什么要学数学,

　并且能够树立学习数学的信心。

　知识来源于生活,

　还要用到生活中去,让它为我们的生活服务,

　解决生活中的实际问题。

　四、 不等式在决策中的应用 问题：有一批影碟机原销售价为每台800 元, 在甲、 乙两家家电商场均有销售, 甲商场用如下方法促销, 买一台单价为780 元, 买两台每台单价都为760 元, 以此类推, 每多买一台则为所买各台单价均再减少20 元, 但每台最低价不能低于440 元.

　乙商场一律都按原价的75 % 销售.

　某单位需购买一批影碟机, 问去哪家商场购买花费较少? 解：

　设该单位需购买x 台影碟机, 则在甲商场的花费S甲= x[780 - 20 ( x - 1)

　]

　; 在乙商场的花费S乙= x · 800 · 75 %,

　S甲- S乙= x[780 - 20( x - 1)

　]

　- x · 800 · 75 % = 200 x - 20 x2 = 20 x (10 - x)

　, 所以, 当x < 10 时,

　S甲> S乙; 当x = 10 时,

　S甲= S乙; 当x > 10 时, S甲< S乙.

　五、 在其它方面的应用 h r

　1.

　在科学研究中的应用 我们知道数学是以真实的外界现象和过程、 以抽象的数量关系形式反映各观规律的。

　现在,

　许多重大科学技术问题不利用数学方法便不能解决。

　在经济研究中,

　数量关系起着相当重要的作用,

　不能不是利用数学的重要领域。

　2.

　在其它学科上的应用 数学在经济中的应用也是极其广泛的,

　虽然不可能在较少的教学时数的情况下,

　让学生去讨论经济中复杂的数学方法,

　但仍可选择适合学生程度的经济方面的实例,

　结合专业进行教学,

　把数学和专业有机地结升起来,

　让学生在学习数学知识的同时,

　看到它在专业中的实用价值,

　对学生应用能力培养是大有益处的。

　由以上几个方面可以看出,

　数学来源于实际， 应用于实际， 数学与人们的生活质量和工作效率息息相关， 也为其它学科的建立和发展提供了 条件和基础、 方法和思想。

　随着经济社会自 然的协调发展,

　人们更加需要重视数学,

　学习数学,

　依赖数学。

　数学知识应用 的教学尝试,

　使我们领悟到这项工作是长期的,

　经常的,

　不能搞突击。

　平时注意要将较复杂的问题化整为零,

　把生活实践中的数学现象融入数学课堂中， 注重数学模型观的渗透， 强调数学语言的广泛使用、 交流和表达， 并要抓住一切可切入机会,

　把问题渗透到各个环节。另 外我们在平时要注意积累身边的素材,

　多从各类书籍中汲取营养, 为学生在应用中提取和运用理论创造有利条件。

　数学知识的应用在第二课堂还有广阔的空间,

　愿大家都来努力实践吧!

　参考文献：

　1、 中华人民共和国教育部制订， 《全日 制义务教育数学课程标准（ 实验稿）》 , 北京：

　北京师范大出版社, 2001.

　2、 教育部基础教育司， 数学课程标准研制组编， 《全日 制义务教育数学课程标准解读（ 实验稿）》 , 北京：

　北京师范大出版社, 2002 3、 陕西师大杂志社出版发行， 《中学数学教学参考》

　1999 年第 9 期

篇三：数学在生活中的应用论文

重积分是数学的重要工具， 具有非常广泛的应用.本文主要通过实例来说明二重积分在数学、 物理以及实际生活中的应用.其中在数学中的应用又分为以下五个方面的应用：（1）二重积分在数学、 计算和证明中的应用；（2）

　用二重积分计算概率；（3）

　用二重积分来证明积分不等式；（4）

　二重积分在几何上的应用；（5）

　二重积分在微分方程中的应用.除此之外，二重积分在自然科学、 工程技术以至经济人文等领域都有广泛的应用. 二重积分， 应用， 数学， 实际生活， 物理 1

　例1、

　设 f(x,y)于闭区域10 , 10yx上可积[1]， 试证明  1 nnvdxdyyxfnlimenvnfn1),(21010)],(11 [

　``````````

　（1）

　证明：

　因为（1）

　式右端=1nnvnnvnfne12),(1lim （1）

　式左端=1nnvnnvnfne12)],(11ln[lim 要证明（1）， 只要证明 0} ),(1)],(11ln[{limn111122nnvnnvnvnfnnvnfn 或0| )n,(1)],(11ln[|limn1122nnvvnfnnvnfn 已知不等式 2|)1ln(|xxx

　（当21||x）

　```````（2）

　并注意到 f在[0， 1； 0， 1]上可积， 从而有界 Myxf| ),(|sup n 充分大时， 恒有21| )n,(1|22nMvnfn,于是可用式（2）

　得 111010221221220),(01),(1| )n,(1)],(11ln[|dxdyyxfnnvnfnvnfnnvnfnnnvnnv（当n时）

　例2、

　计算j1nnninlimjin212]2[2， 这里[x]为不超过 x 的最大整数. 分析：

　把矩形] 2 , 0 [] 2 , 0 [在 x 轴上的边分为 n 等份， 在 y 轴上的边分为 2n等份， 过每个分点作坐标轴的垂线， 则矩形被分为 2n2个小矩形.每个小矩形的面积是22222nnn.每个小矩形右上角顶点的坐标是),2(njni (i=1,2,```n;j=1,2,```2n).由重积分的定义知， nnjnijin2112]2[2恰是函数f(x,y)=[x+y]在矩形域] 2 , 0 [] 2 , 0 [ 上的一个积分和[2]. 解：j1nnninlimdxdydxdydxdydxdyjin21212343210]2[2 积分区域4321,,,（如图）， 其面积分别为21,23,23,21. 故 I=6213223230.

　 2

　二重积分最常见的应用之一就是确定两个变量落在规定区域内的概率.这里首先给这样应用的联合频率函数 f(x,y)下定义[3]. 连续变量 x 和 y 的联合频率函数是具有如下性质的函数：

　1.0),(yxf 2． 3． 这些性质类似于单变量频率函数的性质， 就是说：

　1),(dxdyyxf 2211),(),(2211bababyabxaPdxdyyxf （1）

　概率总是非负的；

　（2）

　一个必然事件的概率为 1；

　（3）

　x 值在区间(a1,b1)中与 y 值在区间(a2,b2)中的概率用其相应的积分来给y 2 0 1 1 x 2 1324

　出. 从几何上说来， f(x,y)是三维空间中的曲面， 在该曲面之下而位于由a1&lt;x&lt;b1和 a2&lt;y&lt;b2所确定的矩形之上的体积就是 x 和 y 将取这矩形中的对应点的值之概率.如图,如果 f(x,y)为连续函数， 则),(),(22112211byabxaPbyabxaP.

　例 1、 某公司在对某种型号日光灯管成本的研究中已经求出订货量 x 和订货总成本 y 的频率函数， 它近似为5 . 31),(yxf ,61x,xyx1 . 11 . 09 . 01 . 0 式中 x 是以千支为单位的日光灯管， y 以千美元为单位.如果该公司给灯管定价为每支 1.05 美元， 则该公司无盈亏和有利润的订货各占多少比例？

　解：

　 6071. 05 . 32125)]1 . 0075. 0 () 6 . 07 . 2[(5 . 31| )x1 . 0075. 0 (5 . 31) 1 . 015. 0 (5 . 31)9 . 01 . 005. 1 (5 . 315 . 31)05. 19 . 01 . 0 , 61 (61261616105. 19 . 01 . 0 xdxxdxxxdydxxyxxPxx 故该公司无盈亏和有利润的订货比例均为 0.6071. 注意到

　60.1 1.1660.1 1.10.1 0.910.1 0.91162611111|[0.1 1.1(0.10.9 )]3.53.53.51110.2(0.1) |(3.60.1)13.53.53.5xxxxdxdyydxxx dxxdxx 即在区域 D1：61x,xyx1 . 11 . 09 . 01 . 0内该公司销售日光灯管必定能够获利. 又易知设5 . 31),(yxf， 且满足0),(yxf， 1),(dxdyyxf， 因此概率密度函数 f(x,y) 一般是在 xy 平面上一个面积为 3.5 的区域 D 上等于1/3.5， 在其余点上等于零.

　2

　有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题， 会给解题带来方便， 以下通过几个例子说明如何利用二重积分证明积分不等式[4]. 例 1、 设函数 f(x)与 g(x)在[a,b]上连续且非负， 证明 babadxxgxfdxxgxfab2))()(()()()( 证明：

　记],[],[babaD， 由重积分的性质等， 有 DDDDbabadxxgxfdxxgxfabdxdyygyfxgxfdxdyxgxfdxdyygyfygyfxgxfxgxfdxdyygyfxgxf]))()(()()()[(2])()()()()()([ 2)]()()()()()(2)()([] )()()()([022 所以原不等式成立.

　例 2、 设函数 f(x)为[0,1]上的单调增加的连续函数， 证明 102103102103)()()()(dxxfdxxfdxxxfdxxxf 证明：

　记] 1 , 0 [] 1 , 0 [D， 令102103102103)()()()(dxxxfdxxfdxxfdxxxfI 则有

　DDDdxdyyxyfxfydxdyyfxfdxdyyfxxfI))(()()()()()(232323 利用对称性， 又有DdxdyxyxfyfI))(()(23 两式相加， 并由题设，0)]()()[(],,[,yfxfyxbayx于是 0)]()()[()()(222DdxdyyfxfyfxfyxI 即 102103102103)()()()(dxxfdxxfdxxxfdxxxf 例 2、 证明不等式babadxxfabdxxf)()())((22 证明：

　因为 2bababababadxdyyfxfdyyfdxxfdxxf)()()()())((2 而)]()([21)()(2yfxfyfxf 故  2babababababadxxfabdyyfdxxfabdxdyyfxfdxxf)()(])()([)]()([21))((222222

　本例将证明定积分的问题转化为重积分来证明， 这在定积分的证明和计算中经常用到. 4

　二重积分的应用是非常广泛的， 其中最直接的应用是计算体积和空间曲面的面积[5]. 空间区域 的体积 V 对于以下两种特殊情况， 可采用更方便的算式. （1）

　若 可表为:),(),(21yxZZyxZ， 则 DdxdyyxZyxZV)],(),([12 ,

　 D 是 在 xy 平面上的投影. （2）

　若 的界面是曲线 y=f(z))(bza绕 z 轴旋转而成， 则badzzfV2)]([ 例1、

　求由 z=xy,z=x+y,x+y=1,x=0,y=0 围成的区域的体积.

　 解：

　空间区域如图所示， 它在 Oxy 面上的投影 D 由 x+y=1， x=0,y=0 所围成.用平行于 y 轴的直线去截 D， 则对每一] 1 , 0 [x， 有xy10.因此可 表示为y 10 ,x10xy

　0

　图 2 故体积 V 为247| ])1 (813121[])1 (21)1 (x[| ]21[)(])[(10432103101021010 DxxxdxxxdxyxxydyxyyxdxdxdyxyyxVxx例 2、 求22yxz介于yyx22与yyx222之间的面积 S.

　解：

　(423)4222222yyxydxdySdxdydS 5

　二重积分可用于计算物体的质量、 重心、 转动惯量、 引力和能量.在此设物体的质量为 M， 重心为),,(zyx， 转动惯量为 I[5]. 例1、

　边长为 a 的正方形薄板上各点的密度  与该点到一固定顶点的距离成正比， 中心处密度为 0， 求质量 M.

　解：

　设正方形是ayax0 ,0， 求得22021yxa 于是 x x+y=1 y x z 0 图 1

　)]12ln(2[231sec322222204032040sec02000220 adadrrdadxdyyxaMaaa 例2、

　求均质曲面) 0(4322zyxz之重心),,(zyx. 解：

　用柱面坐标， 曲面可写 1404741)43(7667410,41),23(43220230220230222rdrrrdZrdrrddSyxrdrdrdSrrZ 例3、

　求均匀圆盘 D:222Ryx对于其切线的转动惯量， 设密度  为常数. 解：

　取切线为 y=R， 任给面积微元 d， 它对切线 y=R 的转动惯量为dy yRdI2)([6]

　因此 D 对 y=R 的转动惯量为 44403202020222200220245]41[]sin2 [)sinsin2()sin()(RRRdrrdrdrRrdrrRrRdrdrrRddyRIRRRRD 设一物体 的密度为  ， 它对质量为 m 的质点 M 的引力为 F.任取与 M相距 r 的体积元 dv， 则 dv 对 M 的引力为2rmdvk， k 是引力常数， 将2rmdvk依坐标轴分解之后分别积分即得 F 的各分量. 6 [7] x 0 D y=R R

　例1、

　设函数 f(t)在区间[0,+]上连续， 且满足方程 y22224224)21()(txtdxdyyxfetf， 求 f(t). 分析：

　这是含有未知函数的积分的方程， 称为积分方程.由于在圆域2224tyx上作积分， 且被积函数含有22yx ， 因此可以采用极坐标转化为定积分， 积分上限出现 t， 应用积分变上限函数求导方法， 将方程化为微分方程求解. 解：

　在极坐标下， 积分区域为20 ,t20:rD ytttxrdrrfrdrrfddxdyyxf202020422)2(2)2()21(222 原方程化为ttrdrrfetf204)2(2)(2 等式两端对 t 求导， 得)(88)(24ttftetft 这是 f(t)的一阶线性微分方程， 由积分方程容易得出 f(0)=1, 故求原方程的解转化为求下面初值问题：

　1)0(8)(8)(24ftettftft

　 的解 由线性方程通解公式有 )4 ()8() (tf2484822ctecdteteettdtttdt 由 f(0)=1， 得 c=1 因此

　 ) 14 ()(242tetft 7

　问题 1

　 湖泊体积及平均水深的估算[8]. 椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似.假定湖面的边界为椭圆12222byax， 若湖的最大水深为maxh， 则椭球正弦曲面由下面函数给出：

　)2cos(),(2222maxbyaxhyxf

　其中12222byax.现要求湖水的体积 V 及平均水深h . 解：

　设1:2222byaxD是湖面的椭圆区域， 湖水的总体积 V 为：

　DDdxdybyaxhdxdyyxfV)2cos(| ),(|2222max 被积函数和区域 D 的形状启示我们用变换 sincosbryarx

　,

　 abrJr20 , 10

　故 maxmax10max1010max10max10max2010max4535. 1]21 [4]| )r2cos(21 [4])2sin(|2sin[4] )r2(sin[4)2cos(2)2cos(abhabhabhdrrrrabhrdabhrdrrabhabrdrrhdV 上述公式可通过测量 a,b,maxh来估计湖水的体积（即水量）

　.容易证明椭圆 D 的面积为 ab， 因而平均湖水深度为：

　maxmax463. 04535. 1| )y,(|1hababhdxdyxfabhD 即 463. 0maxhh 实际上， 人们对全世界 107 个湖泊的研究结果表明，maxhh的平均值为 0.467. 问题 2：

　火山喷发后高度的变化[8]. 一火山的形状可以由曲面) 0(422zhezhyx 来表示.在一次喷发后， 有体积为 V的熔岩粘附在山上， 使它具有和原来一样的形状.求火山高度变化的百分比. 解：

　记火山喷发前的体积为 V， 喷发后的体积为 V1.喷发前的高度为 h， 喷

　发后的高度为 h1， 有VVV1， 现要求hhh 1.先计算喷发前的火山体积 DhyxdxdyehV422 由于火山的底部很大， 将它看成无限大， 即 D: r020{ 用极坐标法来计算：

　2244000244008()8[] |]rrnhrrhhVdh erdrhrd eh reedr   223440088( 4 )|32rrhhhedrhheh 于是 313133313311311)32(323232)(32,32VhhVhhVhhhVVVhV 即1)32(13131hhvhhh

　因此如果知道了V和 h， 由上述公式可求得火山喷发后高度变化的百分比. 问题 3：

　怎样计算水桶的最大容水量[9] 某仪器上有一只圆柱形的无盖水桶， 桶高 6cm， 半径为 1cm.在桶壁上钻有两个小孔用于安装支架， 使水桶可以自由倾斜.两个小孔距桶底 2cm， 且两孔连线恰为直径， 水可以从两个小孔向外流出.当水桶以不同角度倾斜放置且没有水漏出时， 这只水桶最多可装多少水？

　解：

　如图建立直角坐标系.设 M(0,1,t)为圆柱母线 CD 上任意一点， 两孔位置分别为 A(1,0,2)， B(-1,0,2). 设当水桶倾斜时， 水平面恰好通过 A,B,M 三点， 此平面的方程为 1022000112xyzt

　整理可得：

　z=(t-2)y+2, 由0z知22ty 水桶容量为圆柱位于水平面下面的体积.故 2222112121221222( )[(2)2][(2)2]2[(2)2] 1yytxyyttV ttydxdydytydxtyy dy 11222222214(1) 1tttyy dyyy dy 于是 ) 62 () 2()]4([32]) 2(41 [32|)1 (3212) 2(2) 2(41)221 ( 4) 2(2) 2(41)22(212323232122122232222221222ttttttydyyytttttttdyyydtdVtt由于 2&lt;t&lt;4 时，64 , 0tdtdV时，0dtdV可知在驻点 t=4 处， V(t)取得极小值，因此最大值只能在 t=2 或 t=6 处取得.计算可知2) 2 (V2hr 34233) 24 () 6 (V21122ydxdyyyx 所以,水桶的最大容水量34233maxV. 8

　x y z 2 M(0,1,t) C(0,1,6) B A D

　二重积分的计算一般较定积分复杂， 课本上通常讲授的方法是化为累次积分（包括使用极坐标等）， 而在近似计算方面， 二重积分目前还很少有定积分那样简明的近似计算公式（如矩形公式， 梯形公式， 辛普森公式等）， 作为探讨， 本文提出以下化二重积分为定积分的一种方法. 设 D 是一个单连通区域， 其边界 L 是逐段光滑曲线，( , )f x y 连续可微，

　L：( ),x t y( ),y txt ，

　当要计算,Df x y dxdy时， 如果不定积分,f x y dx或,f x y dy之一能准确算出， 则可取 ,0,,,P x yQ x yf x y dx 或 ,,,,0P x yf x y dy Q x y  所得到的函数 ( , )P x y 、( , )Q x y 在 D 上有一阶连续偏导数， 且满足 ( , )Q x y( , )P x y( , )f x yxy，

　于是利用格林公式可把二重积分化为定积分：

　dxdyyxfDDdttytytxQdttxtytxPdyyxQdxyxPdxdyyPxQL)())(),(()())(),((),(),()(),( （式中的线积分沿 L 的正向）

　.当所得定积分不能准确计算时， 也可利用定积分的各种近似计算公式求二重积分的近似值.

　例 1、 求22Dxy dxdy， 单连通区域 D 的边界 L 为cossin2 ,cos3xtt yt，

　 t .. 27 6 ，

　如下图

　 解：

　根据格林公式， 有

　 x  d L()q, x yydL ()p, x yd dD qxpyx y 由 xd  x2y2 13x3y2x，

　取  ()q, x y 13x3y2x， ()p, x y0，  py qx x2y2

　 d 

　 dD x2 y2x yd L ()q, x yy =7326217293[ (cos3sin2 )cos 3 (cossin2 )]sin3t220tttttdt   d 

　 dD x2 y2x y729220 ，

　 d  d D x2y2x y3.313636364 本例也可使用定积分的近似计算公式， 例如（用 n=20 的 simpson 公式）

　1022312932111(21)(21){4{{3[ ( sin3sin)903015(21)(21)(21)(21)sin( sinsin)]cos}}1030215i10212{{3[ ( sin3sin)sin( sinsin)]cos}}}1515515155iDiiixy dxdyiiiiiiiii  d 

　 dD x2 y2x y3.314384062

　所以 即 所以

　: [1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社， 1993 [2]崔宝同， 王海滨， 等.数学分析的理论与方法[M].科学技术文献出版社， 1990 [3]J.E.韦伯.数学分析——在企业管理与经济学中的应用[M].对外贸易教育出版社， 1987 [4]井爱雯.利用二重积分证明积分不等式[J].高等数学研究， 2000， 3（1）：

　24-25 [5]李大华， 胡适耕， 林益.高等数学典型问题 100 ...

篇四：数学在生活中的应用论文

008 届本科毕业论文（设计）

　 题 目 中学数学复习课

　 系（院）名称 数学科学学院

　 专 业 名 称

　 专 业 名 称

　数学与应用数学

　 学

　号 学

　号 0711010314

　学 生 姓 名 学 生 姓 名

　 指导教师姓名（职称）

　指导教师姓名（职称）

　周 科 （副教授）

　教 务 处 制 二 〇 一 一 年 五 月

　 目

　录 摘要................................................................1 一、数学史与数学课堂教学............................................2 （一）数学史概述...................................................2 （二）数学史教育及现状.............................................3 二、数学史在小学数学教育中对学生的意义与作用........................3 （一）数学史对学生在知识方面的培养.................................4 1.数学史能激发学生学数学的兴趣...................................4 2.数学史能加深学生对数学知识的理解...............................5 3.数学史能拓宽学生的知识面.......................................5 （二）数学史对学生在能力方面的培养.................................6 1.数学史教会学生正确的数学思维和数学思想方法.....................6 2.数学史能提高学生解决问题的能力和创造能力.......................7 （三）数学史对学生在人格方面的培养.................................7 1.数学史能培养学生顽强的意志品质.................................7 2.数学史能陶冶学生的爱国主义情操.................................8 三、数学史在小学数学教育中对教师的意义与作用........................8 （一）数学史有助于提高教师自身的素养...............................8 （二）数学史有助于教师丰富课堂教学.................................9 （三）数学史能让教师留给学生好的印象与积极的影响..................10 四、数学史融入数学教材及教学中的思考与建议.........................10 （一）教材中数学史编写的思考与建议................................10 （二）数学史材料的使用形式和实施策略..............................14 结束语.............................................................16 参考文献...........................................................16 致谢...............................................................17 作者简介...........................................................17 声明...............................................................18

　广西师范学院 2008 届本科毕业论文

　1 数学史融入小学数学课堂教学的尝试与思考 小学教育专业 何福燕

　 [ 摘 要]数学史是数学发展的历史，是穿越时空的智慧。数学史融入小学数学课堂教学具有十分重要的意义。它不仅能够激发学生学数学的兴趣、促进学生对数学知识的理解、拓宽学生的知识面，还能促使学生形成正确的数学思维和掌握正确的数学方法、提高解决问题的能力和创造能力，更能陶冶学生的情操，培养学生顽强的意志品质、激发学生的爱国主义情操以及培养学生的审美意识。同时，数学史还能够促进教师的发展，提高教师的文化素养，丰富教师的教学方法。注重数学史与数学课堂教学的有机整合，将有利于全面推进素质教育的发展。

　[ 关键词]数学史；课堂教学；意义作用；尝试与思考 Tryout and Thinking of Permeating Mathematics Histrory into Primary Mathematics Classroom Teaching Elementary Education Major

　HE Fu-yan Abstract:Mathematics history is the development history of mathematics. It is an intelligence passing through the time and the space. There is important meaning to permeate it into classroom teaching of primary mathematics. Not only can mathematics history encourage the students" interest in mathematics learning ,enhance the students" understanding about mathematical knowledge , broaden the students" knowledge, but also make them form correct mathematical thought, master correct mathematical method, improve their ability to solve problems and the ability to

　create. What is more, mathematics history can nurture the students" sentiment, create there tenacious will, encourage their patriotism emotion and create their aesthetic consciousness. At the same time, mathematics history can promote the teachers" development, improve their culture connotation and enrich their way of teaching. Putting emphasis on the combination between mathematics history and mathematics classroom teach, will boost the comprehensive development of quality education. Key words: history of mathematics; classroom tech; the significance with affects; take a try and consider

　引言 数学史是人类智慧的结晶。

　数学史融入课堂对促进数学课堂教学具有及其重要的作用和意义。我国著名的数学教育学家欧阳绛说：“数学史也就是数学的脉络，教师只有掌握了数学的脉络，才能从实际上把握数学，才能教好数学。”[1] 他认为数学史应该与数学课堂教学有机整合在一起，让教师从本质上理解数学知识体系，并从整体上把握数学发展的脉络，设计出教学方案，

　小学英语课堂教学中有效实施小组合作学习的行动研究

　2从而让学生更好地学习并理解数学。但长期以来，在数学课堂教学中，特别是在小学数学课堂教学中，数学史的教育功能并没有得到的真正重视。课堂上数学教师们很少会将数学史知识融入到数学课堂中，即使部分教师偶尔会在课堂上将知识点与数学史联系到一起，但也仅是轻描淡写，几句话一带而过。

　随着教育改革的不断发展，当前国内外掀起了研究数学史与数学教育的热潮，倡导数学教育者要学习数学史，重视数学史在数学课堂教学中的积极作用。为了全面推进素质教育的发展，有力地改进学生学习数学的方法，探索数学的规律，切实搞好数学教学，教师们需要充分认识到数学史在数学教学中的地位和价值，充分研究该如何将数学史融入到小学教学课堂中。本文通过对数学史与数学教学课堂的联系，数学史对学生、教师的影响，数学教材中数学史的编写建议，如何将数学史与小学数学课堂教学的有机融合等方面进行深入研究，在借鉴国内外学者们对数学史与数学课堂教学关系的研究基础上进行了论述。

　一、数学史与数学课堂教学 （一）数学史概述 每一门学科都有它的历史，数学也有它的历史。数学史研究的是数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展，以及数学与社会经济、政治、文化的联系。简而言之，数学史是我们学习数学，认识数学发展历程的工具。数学史既是数学思维和数学方法的发展史，又是重大数学过程的博览史；既是数学家们对数学的贡献史，又是数学发展与人们日常生活、科技、政治、经济、军事、文化、教育等密切联系的关系史；数学史还是一部人类对自然、对社会以致对数学本身的认识史。

　数学这门学科与其他学科相比，有它自身的特殊之处。数学是一门积累性很强的学科，数学史家汉克尔（Hermann Hankel,1839-1873）曾形象地指出过数学和其他自然科学的显著差异：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”[2] 数学与其他学科不同的地方，就是它的理论从来没有被推翻过然后再重来的。我国数学史研究的奠基人之一梁宗巨说：“可以说数学是积累的科学，它本身就是历史的记录。或者说，数学的过去融化在现在与未来之中。”[3] 数学史详细的记录了数学这门学科发展的整体脉络

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　3 以及数学家们发现和解决数学问题的史实，展示了数学家们为攻克数学难题而经历的无数挫折与磨难，展示了数学这门学科发展进程的艰辛，还展示了数学家们闪烁的智慧。

　（二）数学史教育及现状 早在 18 世纪，法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德（A.Comte,1789-1857）就说过：“由于个体知识的发生与历史上人类知识发生的一致性，因而对孩子的教育必须符合历史的顺序。”[4] 对于数学这门学科，数学史研究自七十年代蔚为风潮以来，数学史知识如何运用在数学课堂教学中，已备受数学国内外数学教育者的瞩目。在 1972 年的第二届国际数学教育会议中，就有一个工作小组负责如何将数学史作为一种教学工具运用到数学课堂中，也就是给数学史寻求一个定位。70 年代末，国际教育委员会设立了专门研究数学史与数学教学关系（History and Pedagogy of Mathematics，简称 HPM)的研究群，它研究的主要目的将数学史与数学教育有机整合，以提升数学教学的效率。在这三十年间，HPM 的研究水平蒸蒸日上。可惜的是，长期以来，在小学数学课堂中，虽然数学教师们有时会在课堂上渗透一些数学史知识，但对数学史知识融入数学课堂教学的重视度还不高，大多数数学教师在课堂上只是把相关的数学史知识轻描淡写，一带而过，没有真正重视到数学史的教育功能。

　随着各种全国数学史与数学教育研讨会的召开和教育的不断改革，近年来，国际上掀起了一股学习数学史的热潮，数学史融入数学课堂教学起到的积极作用引起了许多数学家、数学史家、数学教育者们的关注。在第一届“全国数学史与数学教育会议”上，中国科学院李文林先生说：“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史，这也就是要发挥数学史的教育功能，使之成为一门可以应用的学问。”[5] 于是在教材改编过程中，我们可以发现，高中、初中、小学的数学课本教材中逐渐编入了不少与知识相关的数学史知识。由此可见，数学史与数学教育的结合成为了当前数学教育改革的一个重要方向，数学史成为数学教育中不可缺少的有机组成部分。

　为什么要如此重视数学史的作用？数学史在数学课堂教学中的作用意义又何在呢？ 二、数学史在小学数学教育中对学生的意义与作用

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　4数学史融入小学数学课堂教学中有着非常重要的意义。首先它表现为对学生的影响，主要有：

　（一）数学史对学生在知识方面的培养 1.数学史能激发学生学数学的兴趣 数学史融入小学数学教学课堂中能够激发小学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，数学史可以使枯燥的数学知识变得生动而富有趣味。数学史中有许多可以激发学生学数学的兴趣的内容：数学名人小故事（如数学家高斯的故事）、数学趣味故事（如十进制“一个手指的故事”）、数学趣味游戏（如七巧板拼图，摆火柴等）、数学历史名题（如哥德巴赫猜想，四色问题等）等等，它们通常有丰富的背景知识，能极大的丰富课堂生活，激发学生学习数学的积极性。

　在广西师范学院附属实验小学实习的过程中，我听过一位老师给三年级（1）班上的一节公开课，这节课的内容是人教版小学三年级上册中 104 页-108 页的《可能性》。课堂伊始，老师首先给学生们讲了一个非常有趣的数学故事：“宋朝的时候，有个叫王生的书生被仇人李二狗冤枉关进了大牢，由于那时的法律制度还不完善，他是否有罪就由知府说了算，而知府又是个贪财的昏官，被李二狗买通了要判王生死刑。审判哪天，由于证据不足，民众不服，知府无法定王生死罪，于是知府想了一个好办法：用抓阄的办法决定王生的生死。就是在一个盒子里面放两张纸条，一张写着“生”字，一张写着“死”字，如果王生抓到的是写着“生”字的那张纸条，他就可以无罪释放，如果他抓到的是写着“死”字的那张纸条，那么他就被判死刑。在抓阄的前一天，李二狗和知府串通好了，把盒子里面的那张写有“生”字的纸条抽了出来，换了另一张写有“死”字的字条放进盒子里，这样盒子里的两张字条都是写着“死”字，无论王生抽到那一张，他都必死无疑！这个消息被王生的一位好朋友知道了，心里十分难过，晚上准备了好酒好菜去监狱里探监，让王生吃上最后一顿好的，并把这个不幸的消息告诉了王生，让他做好心里准备。”故事讲到这里的时候，老师顿了顿，整个课堂的气氛十分紧张，学生们完全融入到了故事中，都暗暗地为王生捏一把汗，“亲爱的同学们，要是你是王生，你是不是十分沮丧，等着被判死刑了呢？你有什么好办法让自己活下来吗？”老师的问题一出来，同学们讨论得可激烈了，都飞快地转动着小脑筋，为故事的主人公想办法。

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　5 请了几位同学说说自己的办法后，在同学们期待的目光下，老师接着讲述了故事的结局：到了第二天抓阄的时候，王生闭上眼睛，嘴里念念有词（祈祷），把手伸进了盒子里，拿出一张纸条飞快地丢进了嘴里，吞了下去，李二狗和知府看到他的举动都震呆了，为什么啊？能不能定王生的死罪就只有看盒子里面的那张纸条了，如果那张纸条写着“死”字，那么按常理大家就可以判断王生抓到的那张就一定（强调）是写有“活”字的那张了。哈哈，结果可想而知，王生被无罪释放了。“同学们，你们想到了这个好办法吗？”这个经过改编后生动有趣的数学故事马上激起了学生学习数学的兴趣，整个课堂气氛十分活跃，为老师在接下来较好的开展...

篇五：数学在生活中的应用论文

学· 魅力欺形生灞．中鹪錾掌．．一“ 立体几何，，应用赏析王海平．．j ．：” 一、阿波罗提出的难题——倍立方体问题，j 。。传说在公元前4世纪，古希腊的雅典流行某种瘟疫，为了消除灾难，雅典人向神求助．神谕说，“ 要使瘟疫不流行，除非把太阳神阿波罗殿前的立方体香案的体积扩大一倍．” 雅典人很高兴，他们认为这很容易办到，于是把旧香案的各条棱都放大了一倍，做了一个新的立方体香案．新香案放到殿前后，人们以为可以心安理得了，未曾想疫势更加猖獗．雅典人没有办法，只得再去祈求神谕，神谕明白地告诉他们，新香案的体积并不是旧香案的两倍，这下人们被难住了．据说人们把问题提到柏拉图那里，柏拉图又将问题交给了几何学家．不管传说是不是真的，倍立方体问题确实曾在柏拉图的学院里研究过，并且欧多克斯、梅纳科莫斯、甚至柏拉图本人都给出过高等几何的解法．我们知道，倍立方体、化圆为方、三等分角这三个问题并称为几何三大难题，为初等几何作图中的三大作图不能问题．之所以不能，是因为作图条件是有限制的：只能使用圆规和无刻度的直尺．这是古希腊人对作图的要求．在《几何原本》中，欧几里得对几何作图给出了明确的规定；作图的工具只能是直尺和圆规，直尺是没有刻度的，只能用来画线和进行线段延长．圆规只能用来画圆或画弧．这两种工具的使用次数还必须是有限的，否则都算作图不能问题．对于倍立方体问题，事实上，要作出棱长是√2的立方体，而√2的棱长是无法通过圆规和直尺有限次使用而作出的，因而倍立体问题便成为一个作图不能问题．倍立方体问题的第一个进展，无疑是希波克拉底对此问题的简化：作两给定线段s和2s的两个比例中项．如果我们令z和Y表示这两个比例中项，则5；z=z：Y=Y：2s．在这几个比例式中有z2一sy，Y2—2sx，消去Y得z3—2s3，于是以z为边长的立方体的体积就等于以s为边长的立方体的体积的二倍．在希波克拉底作出简化后，倍立方体问题就成为求两给定线段的两个比例中项的问题了．这样，陆续出来了一些高等几何的解法，用带刻度的尺也能解决这个问题了．毒每0二、地图的绘制④我们都知道地球并非扁平的，但为了携带方便，我们要把地图描绘在一张长方形的纸上．由于地球类似于球体，因而画在球面上的地图是最精密的地图．一幅球面的地图显示出：喜万方数据

　Y⋯。，⋯’ ’——所有经线长度都相等而且相交于极点；——所有的纬线都平行；——纬线环绕着球体，越近极点变得越小；——两经线夹在任意两条纬线间的距离相等；——纬线与经线相交成直角．然而在一张扁平的纸上是不可能画出一张精确的地图的．结果球形地图的投影也就应运而生．不同类型的投影会使地图上某个特殊的区域较为精确．投影几何的概念对于制作不同的地图是非常有用的．例如，麦卡脱式投影( 柱状或管状投影) 对于接近赤道的区域是较为精确的．麦卡脱式投影的经线并不交汇予极点，因而接近极点的地域显得比实际要来得大．另一方面，天顶投影却能使极点地区较为精确．在地图绘制中也用到其他类型的投影，如方位投影、圆锥投影、正弦投影、等积比投影、断续投影等等．但如果我们用了某种投影，那么地图上必然会有一些部分产生歪曲．这就解释了为什么领航员面对不同的区域及不同的领航种类( 空中或海洋) 时，需要用不同的地图或地图的组合．如果没有投影几何、比例、绘图学以及球面几何等知识，地图的绘制只能停留在原始的阶段．三、蜂房中的数学蜜蜂是出色的建筑师，它们建筑的蜂房就是自然界的诸多奇迹中的一个．蜂房蜂房是正六棱柱形的，它的底是由三个全等的菱形组成的．达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术，说它是：“ 天才的工程师．”公元4世纪，数学家巴普士就告诉我们：正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状，在其他条件相同的情况下，这种结构的容积最大，所用的材料最少．他给出了严格的证明．看来我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服．现在许多建筑师开始模仿蜂房的结构，把它们应用到建筑的实践中去．j ．" ! ；：妻四、晶体——自然界中的多j 、’～羔羔⋯．一面签⋯．一一～一从古代起，多面体便出现在数学著作中，然而它们的起源却是更加的古老，几乎可以与自然界自身的起源联系在一起．晶体常常生长成多面体的形状．例如，氯酸钠的晶体呈现为立方体和四面体的形状；铬矾的晶体有着八面体的形状．令人迷惑不解的是，在一种海洋微生物放射虫类的骨骼结构中，居然也出现十二面体和二十面体的晶状体．一个正多面体的所有面都一样，所有边都相等，而且所有角也全都相等．多面体有着无数种类型，但正多面体却只有五种．正多面体也称柏拉图体，柏拉图约于公元前400年独立发现了它，后人为此予以命名．然而正多面体的存在，人们早在毕达哥拉斯之前就已知道．埃及人甚至把它们中的某些用在的建筑和其他物件中．五种柏拉图体正四面体 @ ◇◎ ⑨正六面体正八面体正十二面体正二十面体万方数据

篇六：数学在生活中的应用论文

设计(论文)

　课 题 名 称

　 数学期望在实际生活中的应用

　 学 生 姓 名

　 刘飞飞

　学

　 号

　1040802021

　 系、年级专业

　 理学系 10 级信息与计算科学

　指 导 教 师

　 黄卫平

　职

　 称

　教授

　2014

　年

　04

　月

　15

　日

　摘 要

　数学期望是一门重要的数学学科，它是随机变量总体取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。在现代快速发展的社会中，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域扮演越来越重要的角色，应用越来越广泛。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用，包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果，更清楚的认识到数学期望的广泛应用性及其重要性。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

　所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。

　关键词：

　数学期望；随机变量；应用；预测；决策

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　Abstract

　 Is an important mathematical ecpectation of mathematics, which is the overall average value of the random variable, which is one of the important characteristics of the digital random variables, is one of the basic characteristics of a random variable. In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important branch of probability theory play an increasingly important role in many areas, more and more widely. Through several examples to explain the mathematical expectation in real life applications, including some examples of economic decision-making, lottery, job decisions, health care, sports and other aspects, so that we can use the scientific method to quantify the evaluation of balance the expectation maximization and minimization of the risk of conflict, we expect to achieve the best results, a clearer understanding of the mathematical expectation of a wide range of applications and its importance. By exploring the mathematical expectation in real life applications, in order to play to let everyone know the rich heritage of knowledge and human practice closely linked, personal experience to &quot;Math really useful&quot;.

　The so-called mathematical expectation is actually seeking to find a random variable with probability-weighted average of the number of rights. We mean this concept is most commonly used in the practical application of an indicator , it is used in predicting a scientific nature. Key words: Mathematical expectation; Rondom variables; Application; Prediction; Decision making

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　目

　录

　中文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅰ

　英文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅱ 前言 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.数学期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.1 数学期望的由来 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.2 数学期望的定义 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.3 随机变量的函数的数学期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.4 条件数学期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.数学期望在实际生活中的应用 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

　 2.1 决策问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

　 2.1.1 生产批量问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

　2.1.2 货物出口问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5

　2.1.3 求职决策问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6

　2.1.4 投资风险问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7

　2.1.5 方案决策问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8

　2.1.6 活动选择问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10

　2.2 疾病普查问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12

　 2.3 赌局问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13

　 2.4 保险赔偿金问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 14

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　 2.5 体育比赛问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15

　 2.6 旅游收益问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 17

　 2.7 警方破案问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 18 3.参考文献 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 20 致谢 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21

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　前 言

　概率论起源于意大利文艺复兴时期，在当时的意大利就已经建立了预防意外的商业保险组织。为使商业保险机构获得最大利润，就必须研究个别意外事件发生的可能性，即研究事件发生的概率，或称机遇律（率），或然率，根据个别意外事件发生的概率去计算保险费与赔偿费的多少。不过当时的研究只求实用，尚未形成严格的数学理论。后来，在著名科学家 Galileo, Pascal, Fermat, Laplace, Bernoulli, Helley 等人的努力下，才基本建立起一个较为严格、完整的概率论体系。现在，概率论正以其独特作用为社会做出贡献，它在自然科学与社会科学的许多领域中得到广泛的应用；它在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、医学、地质学、空间技术、气象与灾害预报以及许多新兴学科与边缘学科都作出了非常重要的贡献,也日益深入到我们工作、学习、生活中。

　数学期望是概率论中的小部分知识，数学期望反映的是随机变量总体取值的平均水平，是随机变量的重要数字特征之一。随着经济的迅速发展，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。生活中许多问题具有随机性，研究其概率分布并不容易，可研究其数学期望来进行解决，所以数学期望在实际生活中有着巨大的作用，正因为数学期望在实际生活中起着巨大作用，才引起了我的兴趣研究数学期望及其应用，以至于更深入的了解数学期望及其广泛应用性和重要性。本课题的目的就是通过实际生活中具体的例子，反映数学期望在实际生活中广泛的应用，并提供了重要的理论依据，体现数学期望的广泛应用性及其重要性。

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　 01.数学期望

　1.1 数学期望的由来

　 早在 17 世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，无平局。比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得 100 法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这 100 法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为43212121= × +

　或者分析乙获胜的概率为412121= × . 因此由此引出了甲的期望所得值为 7543100 = × 法郎，乙的期望所得值为 25法郎。

　这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

　1．2 数学期望的定义 定义 1

　设离散型随机变量 X 的分布率为：

　{ }k kp x X P = =

　  , 2 , 1 = k

　 若级数 ∞=1 kk k px 绝对收敛，则称级数 ∞=1 kk k px 的值为离散型随机变量 X 的数学期望，记为 ( ) X Ε ，即 ( )∞== Ε1 kk k px X .[1]

　定义 2

　设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( ) x f ，若积分 ( ) dx x xf+∞∞ − 绝对收敛，则称积分 ( ) dx x xf+∞∞ −的值为随机变量 X 的数学期望，记为 ( ) X Ε ，即 ( ) ( )+∞∞ −= Ε dx x xf X .[1]

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　 11．3 随机变量的函数的数学期望

　 定理

　设 Y 是随机变量 X 的函数：

　( ) X Y g = （ g 是连续函数）。

　 （1）

　X 是离散型随机变量，它的分布率为 { }k kp x X P = =  , 2 , 1 = k ，若( )∞= 1 kk kp x g 绝对收敛，则有 ( ) ( ) [ ] ( )∞== Ε = Ε1 kk kp x g X g Y ;

　 （2）

　X 是连续型随机变量，它的概率密度为 ( ) x f ，若 ( ) ( ) dx x f x+∞∞ −g绝对收敛，则有 ( ) ( ) [ ] ( ) ( )+∞∞ −= Ε = Ε dx x f x g X g Y .[1]

　1．4 条件数学期望

　 定义 1

　设 ( ) Y X, 为二维离散型随机变量，其分布为：

　( ) ( ) , , 3 , 2 , 1 , , ,  = = = = j i p y Y x X Pij j i 若级数 ( )∞= =ji j jx X y Y P y | 绝对收敛，则称其和为 Y 在ix X = 条件下的条件数学期望，记为 ( )ix Y | Ε ，即 ( ) ( )∞= = = Εji j j ix X y Y P y x Y | | . 类似地， X 在jy Y = 条件下的条件数学期望 ( )jy X | Ε 可定义为：( ) ( )∞== = = Ε1| |ij i i jy Y x X P x y X .[2]

　定义 2

　设 ( ) Y X, 为二维连续型随机变量， Y 在 x X = 条件下的条件密度函数为 ( ) x y fX Y||，若积分 ( )+∞∞ −dy x y yfX Y||绝对收敛，则称其值为 Y 在 x X = 条件下的条件数学期望，记为 ( ) x Y | Ε ，即 ( ) ( )+∞∞ −= Ε dy x y yf x YX Y| ||.

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　2类似地， X 在 y Y = 条件下的条件数学期望 ( ) y X | Ε 可定义为：

　( ) ( )+∞∞ −= Ε dx y x xf y XY X| ||.[2]

　2．数学期望在实际生活中的应用 随机变量的分布函数或分布率、概率密度函数都能全面地反映随机变量的特征，但在实际问题中，有时并不需了解随机变量的全面情况，只需知道它的重要特征。[4] 2．1 决策问题 在经营管理决策中，有时按某项指标的大小比较各种备选方案的优劣.如果这些指标受到随机因素的影响，则可按各方案某项指标的数学期望的大小来做出最优决策。[4] 因此,可利用随机变量的数字特征数学期望来求解一些经济决策问题。

　2．1．1 生产批量问题 某企业为了确定今后 5 年内生产某种服装的批量，以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资料及市场调查预测，未来市场销路好、中、差三种状况的概率分别为 0.3，0.5 和 0.2。若按大、中、小三种不同生产批量投资，今后 5 年不同销售状态下的益损值如下表：

　状态 销路好 销路中 销路差 概率 0.3 0.5 0.2 大批量益损值1x

　20 14 -2 中批量益损值2x

　12 17 12 小批量益损值3x

　8 10 10 试作出定量分析，确定今后 5 年最佳生产批量。

　分析：虽然益损值 x 的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三种状态的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准。

　解：计算三个批量的益损值的数学期望：

　( ) 6 . 12 2 2 . 0 14 5 . 0 20 3 . 01= − × + × + × = Ε x

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　3

　 5 . 14 12 2 . 0 17 5 . 0 12 3 . 02= × + × + × = Ε x

　4 . 9 10 2 . 0 10 5 . 0 8 3 . 03= × + × + × = Ε x

　由上述数据可见，中批量生产的益损均值最大,即中批量生产获益最大。故应选择中批量生产较为合适。

　数学期望在物流管理方面有着许多应用，采购管理、库存管理、生产物流管理等都要计算出获利的数学期望值从而做出决策，上面举出了通过离散型随机变量的数学期望计算损益值数学期望决定生产批量一例，比较三个批量哪个批量使得利益最大，即为最佳批量。

　2．1．2 货物出口问题 国家出口某种商品，假设国外对该商品的年需求量是随机变量 X ，且知[ ] 4000 2000 ~ ， U X 单位：

　t 。若售出 1t 则得外汇 3 万元；若售不出，则 1t 花保养费 1 万元，问每年应准备多少商品，才能使用国家收益的期望值最大？最大期望值为多少？ 分析:由于该商品的年需求量 X 是随机变量，且 [ ] 4000 2000 ~ ， U X ，收益 Y 也是随机变量，它是 X 的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳收益只能是收益的数学期望即平均收益的最大值，此题可通过随机变量函数的数学期望进行求解。

　解：设每年准备商品 a ( ) t ,显然有 4000 2000 ≤ ≤ a ，收益 Y 是 X 的函数( ) x g = y 为 ( )( )&lt; − −≥= =a x a xa ax gx , 3x , 3y当当 即 ( )&lt; −≥= =a a xa ax g yx , 4x , 3当当 又因为随机变量 X 的概率密度为 ( )[ ]∈=，其他， 当04000 2000 ,20001xx f

　所以

　( ) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∞ −= Ε = Ε dx x f x g X g Y

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　4( ) ⋅ + − =40002000200013200014aadx a dx a x

　 ( )6 210 4 700010001× + − − = a a

　期望值最大时，有 ( )( ) 0 7000 210001daY d= − − =Εa

　求得 ( ) t a 3500 =

　即当 ( ) t a 3500 = 时，国家收益的期望值最大。

　最大期望值为 ( ) ( ) ( ) 万元 8250 10 4 3500 7000 3500100016 2max= × + × − − = Ε Y

　所以国家收益的最大期望值为 8250 万元。

　 随着经济不断发展，货物的进出口在国家经济中占有举足轻重的作用，无论进口还是出口货物，都是优先考虑国家收益数学期望值来决定进货量和备货量，货物出口问题是通过随机变量的函数的数学期望求解国家收益的最大值，即通过年需求量 X 的收益函数 Y 数学期望值决定备货量。

　 2．1．3 求职决策问题 有三家公司为大学生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为 A,B,C。每家公司都可提供极好、好和一般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位。按规定，双方在面试后要立即作出决...

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